Cela unitária cúbica: aresta, densidade, empacotamento e Bragg
Informe a estrutura (CS, CCC ou CFC), o raio atômico e a massa molar para ver a aresta, a densidade teórica, o empacotamento e o ângulo de Bragg de um plano.
- Roda no seu navegador
Resultado
O resultado aparece aqui.
Aresta, átomos e empacotamento
O modelo trata cada átomo como uma esfera rígida de raio r, todas iguais, que se tocam ao longo de uma direção da cela. Daí vem a aresta a e o número de átomos inteiros em cada cela.
| Estrutura | Aresta a | Átomos por cela | Coordenação | Empacotamento |
|---|---|---|---|---|
| Cúbica simples (CS) | 2r | 1 | 6 | π/6 ≈ 0,52 |
| Cúbica de corpo centrado (CCC) | 4r ÷ √3 | 2 | 8 | ≈ 0,68 |
| Cúbica de face centrada (CFC) | 2√2 · r | 4 | 12 | ≈ 0,74 |
fator de empacotamento = átomos × (4/3)πr³ ÷ a³
Nota: Estruturas reais divergem do modelo de esferas rígidas idênticas: a página mostra a conta geométrica, não a medida de um material.
Densidade teórica
ρ = átomos × M ÷ (a³ × N_A)
M é a massa molar, que você informa, e N_A vale 6,02214076 × 10²³ mol⁻¹ (valor exato). Com a em ångström, ρ sai em g/cm³: 1 ų equivale a 10⁻²⁴ cm³.
Raio de 1,278 Å e massa molar de 63,546 g/mol numa cela CFC dão aresta de 3,6147 Å e densidade de 8,9365 g/cm³, com empacotamento de 74,05%. Em CCC, raio de 1,241 Å e 55,845 g/mol dão 2,866 Å e 7,8786 g/cm³.
Lei de Bragg
nλ = 2d · sen θ
d = a ÷ √(h² + k² + l²)
Aqui θ é o ângulo entre o feixe e o plano (h k l), e não o ângulo com a normal; o detector fica a 2θ do feixe incidente. O campo de λ vem com um valor típico da linha Kα1 do cobre, cerca de 1,5406 Å (a média das linhas Kα fica perto de 1,5418 Å); confira o da sua fonte.
No exemplo CFC, os planos (1 1 1) estão a 2,087 Å e, com λ de 1,5406 Å e ordem 1, o ângulo é 21,66° (2θ = 43,32°).
Nota: A página não aplica as regras de extinção de cada rede: alguns planos não produzem pico, e a conta de Bragg apenas calcula o ângulo geométrico. Se nλ passar de 2d, não existe reflexão e o cálculo é recusado.
Perguntas frequentes
Quantos átomos tem uma cela unitária cúbica?
Pelo modelo de esferas rígidas, a cúbica simples tem 1 átomo por cela, a de corpo centrado tem 2 e a de face centrada tem 4. A coordenação é 6, 8 e 12, e o empacotamento é cerca de 52%, 68% e 74%.
Como calcular a densidade teórica de um cristal cúbico?
Use ρ = átomos × M ÷ (a³ × N_A). Com raio de 1,278 Å, massa molar de 63,546 g/mol e cela CFC, a aresta é 3,6147 Å e a densidade teórica sai 8,9365 g/cm³.
Qual ângulo a lei de Bragg dá para os planos (1 1 1)?
Com a aresta de 3,6147 Å, planos (1 1 1) ficam a 2,0870 Å. Com λ de 1,5406 Å e ordem 1, nλ = 2d sen θ dá θ de 21,66°, que é o ângulo com o plano.
O que é o fator de empacotamento atômico?
É a fração do volume da cela ocupada por átomos: átomos × (4/3)πr³ ÷ a³. No modelo de esferas rígidas vale π/6 (cerca de 52%) na CS, 68% na CCC e 74% na CFC.