Equação vis-viva: velocidade, periélio e Hohmann
Calcule a velocidade em qualquer ponto de uma órbita elíptica, a excentricidade, a energia e o delta-v de uma transferência de Hohmann.
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Da energia da órbita à velocidade em cada ponto
v² = μ × (2 ÷ r − 1 ÷ a); a = (periélio + afélio) ÷ 2; e = (afélio − periélio) ÷ (afélio + periélio)
energia específica = −μ ÷ (2a); Δv1 = v(periélio) − √(μ ÷ r1); Δv2 = √(μ ÷ r2) − v(afélio)
μ é o produto G×M do corpo central, r é a distância do ponto ao centro dele, medida a partir do centro e não da superfície, e a é o semieixo maior. Na transferência de Hohmann, o periélio da elipse é a órbita circular menor (r1) e o afélio, a maior (r2).
Exemplo: da órbita baixa à geoestacionária
Com μ = 398.600 km³/s², periélio de 6.778 km e afélio de 42.164 km, o semieixo maior é de 24.471 km e a excentricidade, 0,723. A nave passa a 10,066 km/s no periélio e a 1,618 km/s no afélio.
Para sair da circular de 6.778 km, o primeiro impulso é de 2,398 km/s; para circularizar em 42.164 km, o segundo é de 1,457 km/s. Somam 3,854 km/s.
Na mesma elipse, a 20.000 km do centro a velocidade cai para 4,855 km/s. Com periélio e afélio iguais a 7.000 km, a órbita é circular: excentricidade 0 e impulsos nulos.
Valores de partida e o que a conta supõe
| Referência | Valor |
|---|---|
| GM da Terra | 398.600 km³/s² |
| GM do Sol | 1,327 × 10¹¹ km³/s² |
| Órbita geoestacionária, raio | 42.164 km |
| Lua, semieixo maior | 384.400 km |
Nota: Os impulsos são instantâneos e as órbitas são circulares e no mesmo plano. Uma órbita baixa terrestre não tem raio único: 6.778 km (6.371 km de raio terrestre mais 407 km de altitude) é só um exemplo, e a altitude é sua.
- Os raios contam do centro do corpo. Some o raio do corpo à altitude antes de digitar.
- A página só calcula a subida de órbita; para descer, o periélio e o afélio ficam trocados e ela recusa.
- Perturbações, arrasto e manobras reais ficam de fora: é um cálculo de estudo.
Perguntas frequentes
Para que serve a equação vis-viva?
Dá a velocidade em qualquer ponto de uma órbita: v² = μ(2/r − 1/a). Em órbita de μ = 398.600 km³/s² com a = 24.471 km, a 6.778 km do centro a velocidade é de 10,066 km/s.
Como achar a velocidade no periélio e no afélio?
Use r igual ao periélio e depois ao afélio na equação. Na elipse de 6.778 por 42.164 km em torno da Terra, saem 10,066 km/s no periélio e 1,618 km/s no afélio.
Como calcular o delta-v da transferência de Hohmann?
Subtraia da velocidade no periélio da elipse a da circular menor e some o que falta no afélio até a circular maior. De 6.778 a 42.164 km em torno da Terra, são 2,398 e 1,457 km/s: cerca de 3,85 km/s no total.