Último algarismo (e dois últimos) de potências: ciclo, resto e passo a passo
Informe a base e o expoente (até 15 dígitos) para ver o último algarismo, o ciclo, a posição no ciclo e os dois últimos dígitos da potência.
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Ciclo do último algarismo
o último algarismo de bᵉ repete com ciclo 1, 2 ou 4; posição = ((e − 1) mod ciclo) + 1; últimos dois dígitos: bᵉ mod 100 = b^(2 + (e − 2) mod 20) mod 100, para e ≥ 2
O último algarismo de 7^2.024 depende só do último algarismo da base (7), cujo ciclo tem 4 termos. O expoente cai na posição 4 do ciclo: o último algarismo é 1. Os dois últimos dígitos (base mod 100 = 7, expoente equivalente 4) são 1.
Outro exemplo
Para 3^100, o ciclo do último algarismo (3) tem 4 termos, a posição é 4 e o último algarismo é 1; os dois últimos dígitos são 1 (escreva com dois algarismos: 01).
Por que funciona
- Só o último algarismo da base importa para o último algarismo da potência; as potências repetem em ciclos curtos (por exemplo, as de 2 repetem 2, 4, 8, 6).
- Para os dois últimos dígitos, o ciclo mod 100 divide 20 a partir do segundo expoente; por isso se reduz o expoente a um valor entre 2 e 21.
- Expoente zero dá 1. Bases e expoentes aceitam até 15 dígitos.
Perguntas frequentes
Como achar o último algarismo de uma potência?
Use o último algarismo da base e o ciclo de suas potências (de 1, 2 ou 4 termos); o resto do expoente pelo ciclo diz a posição.
Qual a unidade de 7 elevado a 2024?
As potências de 7 terminam em 7, 9, 3, 1, em ciclo de 4; 2024 tem resto 0 na divisão por 4, então termina em 1.
Qual o ciclo dos algarismos das potências?
Terminações 0, 1, 5 e 6 não mudam (ciclo 1); 4 e 9 alternam (ciclo 2); 2, 3, 7 e 8 têm ciclo 4.
Como achar os últimos dois dígitos de um número grande?
Calcule a potência módulo 100; a partir do expoente 2, os resultados se repetem a cada 20 expoentes, o que reduz a conta.