Raio de Schwarzschild e dilatação gravitacional do tempo
Informe a massa (em massas solares ou terrestres) e a distância ao centro: veja o raio de Schwarzschild, o fator de dilatação do tempo e o desvio para o vermelho.
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As fórmulas
rs = 2 × G × M ÷ c²
tempo próprio ÷ tempo distante = √(1 − rs ÷ r) | 1 + z = 1 ÷ √(1 − rs ÷ r)
O raio de Schwarzschild rs é o raio do horizonte de um objeto sem rotação e sem carga com massa M. Usa-se G = 6,6743 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²), c = 299.792.458 m/s, uma massa solar de 1,9884 × 10³⁰ kg e uma massa terrestre de 5,9722 × 10²⁴ kg.
Do Sol à Terra em números
Para 1 massa solar, rs vale 2.953,235416 m, ou 2,953235 km. A 10 km do centro, um relógio anda a 0,8394500929 do ritmo de um relógio distante, e a luz sofre desvio para o vermelho z de 0,1912560479.
Se a Terra fosse um buraco negro, o raio seria de 0,00887 m. Na superfície real, a 6.371 km, o fator é 0,9999999993. Para 4.000.000 massas solares, rs é de 11.812.941,663292 km.
| Massa | rs | Distância ao centro | Fator de tempo |
|---|---|---|---|
| 1 massa solar | 2,953235 km | 10 km | 0,8394500929 |
| 1,4 massas solares | 4,13453 km | 20 km | 0,8906590374 |
| 1 massa terrestre | 0,00887 m | 6.371 km | 0,9999999993 |
Limites sem rotação
- A fórmula descreve objetos sem rotação. Buracos negros que giram têm outro horizonte, e a página não os cobre.
- A distância r precisa ser maior que rs. Fora do horizonte de um objeto compacto, a dilatação cresce rapidamente perto de rs.
- Estrelas e planetas comuns são bem maiores que rs: por isso a dilatação gravitacional neles é minúscula, como mostra o fator da Terra.
Perguntas frequentes
Como calcular o raio de Schwarzschild?
Use rs = 2GM ÷ c². Para 1 massa solar, rs é de 2,953235 km.
Como calcular a dilatação gravitacional do tempo?
Calcule √(1 − rs ÷ r), a razão entre o tempo próprio e o tempo de um observador distante. A 10 km de 1 massa solar, é 0,8394500929.
Qual o raio de um buraco negro de uma dada massa?
É o raio de Schwarzschild, proporcional à massa: cerca de 2,953235 km por massa solar. Para 4.000.000 massas solares, 11.812.941,663292 km.