Sistema de segunda ordem: ultrapassagem, tempo de pico e de acomodação
Resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem a partir de ωn e ζ, dos coeficientes de s² + a·s + b ou de uma especificação de ultrapassagem e tempo de acomodação: polos, classificação, Mp, tempos de pico, subida e acomodação.
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Resultado
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De ωn e ζ à resposta ao degrau
Mp = 100·e^(−πζ/√(1−ζ²)); tp = π ÷ (ωn√(1−ζ²)); ts(2%) = 4 ÷ (ζωn); ts(5%) = 3 ÷ (ζωn); tr ≈ (2,16ζ + 0,6) ÷ ωn; polos = −ζωn ± ωn√(ζ²−1)
A resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem depende de dois números: a frequência natural ωn e o amortecimento ζ. Com ζ menor que 1, a resposta oscila e ultrapassa o valor final; com ζ a partir de 1, ela sobe sem oscilar. A ferramenta calcula os polos, a ultrapassagem e os tempos característicos e também parte de s² + a·s + b ou de uma especificação.
Exemplo de sistema subamortecido
| Campo | Valor |
|---|---|
| Dados disponíveis | Tenho ωn e ζ |
| Frequência natural ωn (rad/s) | 2 |
| Coeficiente de amortecimento ζ | 0,5 |
| Polo 1: parte real | -1 |
| Polo 1: parte imaginária | 1,7321 |
| Ultrapassagem Mp (%) | 16,3 |
| Tempo de pico tp (s) | 1,814 |
| Tempo de subida tr, aproximado (s) | 0,84 |
| Tempo de acomodação, critério de 2% (s) | 4 |
| Tempo de acomodação, critério de 5% (s) | 3 |
| Classificação | Subamortecido (ζ entre 0 e 1) |
Cuidados com a aproximação
- As fórmulas de ultrapassagem e de tempo de pico valem para ζ entre 0 e 1; fora disso o valor sai como zero.
- O tempo de subida é uma aproximação empírica e perde exatidão perto de ζ = 0 e acima de 1.
- O tempo de acomodação usa a envoltória exponencial (4/σ para 2%, 3/σ para 5%), uma aproximação.
- Zeros e polos adicionais do sistema real mudam a resposta: os resultados valem só para o modelo de segunda ordem puro.
Nota: Cálculo de controle para o modelo padrão de segunda ordem, com os valores digitados.
Perguntas frequentes
Como calcular a ultrapassagem de um sistema de segunda ordem?
Com ωn = 2 rad/s e ζ = 0,5, a ultrapassagem é 16,3% e o tempo de pico, 1,814 s.
Qual o tempo de acomodação?
Pelo critério de 2%, são 4 s; pelo de 5%, 3 s.
O que acontece com ζ maior que 1?
No quarto cenário, o sistema é Superamortecido (ζ maior que 1): os polos são reais, em -1,9098 e -13,0902, e não há ultrapassagem.