Binômio de Newton: expansão de (ax + by)^n e termo geral
Expanda (a·x + b·y)^n com coeficientes inteiros ou decimais exatos: termos, coeficientes, termo geral T(k+1) e soma dos coeficientes.
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Expansão e termo geral
Informe os coeficientes a e b (inteiros ou decimais) e o expoente n. A ferramenta expande (a·x + b·y)^n, lista os coeficientes de cada termo e, se você informar k, mostra o termo de posição k + 1.
(a·x + b·y)^n = Σ C(n, k) · a^(n − k) · b^k · x^(n − k) · y^k, para k de 0 a n; termo geral T(k + 1) = C(n, k) · a^(n − k) · b^k
Exemplo
Para (2x + 3y)^4 a expansão é 16x^4 + 96x^3y + 216x^2y^2 + 216xy^3 + 81y^4. Os coeficientes são 16; 96; 216; 216; 81; o termo com k = 2 é 216x^2y^2. Fazer x = y = 1 dá a soma dos coeficientes, (2 + 3)^4 = 625.
Com a = b = 1 e n = 5 os coeficientes são os da linha do triângulo de Pascal: 1; 5; 10; 10; 5; 1, com soma 32.
Limites
- O expoente n vai até 60; a e b têm até 6 dígitos inteiros e 3 casas decimais, sinal opcional. Os coeficientes são exatos (racionais), sem arredondamento.
- Coeficiente zero (a ou b iguais a 0) faz o termo sumir da expansão. Os termos usam as variáveis x e y.
Perguntas frequentes
Como expandir o binômio de Newton?
Informe a, b e n. Para (2x + 3y)^4 a expansão é 16x^4 + 96x^3y + 216x^2y^2 + 216xy^3 + 81y^4.
Como achar o termo geral do binômio de Newton?
O termo de posição k + 1 é C(n, k) · a^(n − k) · b^k. Com a = 2, b = 3, n = 4 e k = 2, o termo é 216x^2y^2.
Qual a soma dos coeficientes do binômio?
É (a + b)^n. Para a = 2, b = 3 e n = 4 é 625; para (x + y)^5 é 32.