Números de Catalan, Stirling, Bell, Motzkin e Delannoy
Calcule números combinatórios clássicos com todos os dígitos exatos: Catalan, Stirling de 2ª espécie, Bell, Motzkin e Delannoy.
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Sequências de contagem
Escolha a sequência, informe n (e k, quando precisar) e veja o termo exato. Cada uma conta uma família de objetos, o que as torna úteis em problemas de combinatória.
| Sequência | O que conta | Exemplo |
|---|---|---|
| Catalan C(n) | parênteses bem formados, árvores binárias | C(10) = 16.796 |
| Stirling de 2ª espécie S(n, k) | partições de n elementos em k grupos não vazios | S(5, 3) = 25 |
| Bell B(n) | partições de um conjunto de n elementos | B(10) = 115.975 |
| Motzkin M(n) | caminhos de n passos que não descem abaixo do eixo | M(10) = 2.188 |
| Delannoy D(m, n) | caminhos numa grade com passos para a direita, para cima e na diagonal | D(3, 3) = 63 |
Como cada termo é calculado
C(n) = C(2n, n) ÷ (n + 1); S(n, k) = k · S(n − 1, k) + S(n − 1, k − 1); B(n) = Σ S(n, k); D(m, n) = D(m − 1, n) + D(m, n − 1) + D(m − 1, n − 1)
O número de Bell é a soma dos números de Stirling de uma linha: B(10) = 115.975. Todas as contas usam inteiros exatos, sem aproximação.
Limites
- Catalan e Motzkin vão até n = 2000; Stirling, Bell e Delannoy até 500. Em Stirling, k não pode passar de n. Em Delannoy, n é o primeiro lado da grade e k é o segundo.
- O resultado é exato e completo (até 20.000 caracteres). A ferramenta conta, não lista os objetos.
Perguntas frequentes
O que são os números de Catalan?
Uma sequência que conta, entre outros, as formas de parentizar uma expressão e as árvores binárias. O décimo é 16.796.
O que é o número de Bell?
É o número de maneiras de dividir um conjunto de n elementos em grupos não vazios. Para 10 elementos são 115.975.
Como calcular o número de Stirling de segunda espécie?
S(n, k) conta as partições de n elementos em k grupos. S(5, 3) = 25, calculado pela recorrência S(n, k) = k · S(n − 1, k) + S(n − 1, k − 1).