Distância de um ponto a uma reta e pé da perpendicular
Distância de um ponto a uma reta dada na forma ax + by + c = 0 e as coordenadas do ponto da reta mais próximo, o pé da perpendicular.
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Como se mede a distância de um ponto a uma reta
d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²); pé da perpendicular = (x₀ − a·t, y₀ − b·t), com t = (a·x₀ + b·y₀ + c) ÷ (a² + b²)
O numerador mede o quanto o ponto está fora da reta em unidades da equação, e o denominador normaliza pelo comprimento do vetor (a, b) perpendicular à reta. O pé da perpendicular é o ponto da reta que fica mais perto do ponto dado.
Exemplo com a reta 3x + 4y − 10 = 0
| Campo | Valor |
|---|---|
| Coeficiente a da reta | 3 |
| Coeficiente b da reta | 4 |
| Termo c da reta | -10 |
| Ponto: coordenada x | 2 |
| Ponto: coordenada y | 5 |
| Distância do ponto à reta | 3,2 |
| Pé da perpendicular: x | 0,08 |
| Pé da perpendicular: y | 2,44 |
Cuidados com a forma da equação
- A equação precisa estar na forma geral ax + by + c = 0; para y = mx + n, passe tudo para um lado, ficando m x − y + n = 0.
- Distância zero significa que o ponto está sobre a reta, e então o pé da perpendicular é o próprio ponto.
- Retas verticais (b = 0) e horizontais (a = 0) funcionam normalmente; só a e b juntos zero não definem reta.
- A distância sai na mesma unidade das coordenadas.
Nota: Geometria analítica plana com os números digitados.
Perguntas frequentes
Como calcular a distância de um ponto a uma reta?
Use d = |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²). Para a reta 3x + 4y -10 = 0 e o ponto (2, 5), d = 3,2.
Qual a fórmula da distância ponto reta?
A mesma: o numerador usa o ponto, o denominador usa os coeficientes. No segundo cenário, a distância é 2,8284.
O que é o pé da perpendicular?
É o ponto da reta mais próximo do ponto dado. No exemplo, (0,08, 2,44), e a distância até ele é a distância ponto-reta.