Geometria analítica 3D: distância entre pontos, ponto-plano e ponto-reta
Distância entre dois pontos do espaço, de um ponto a um plano ax + by + cz + d = 0 e de um ponto a uma reta dada por um ponto e um vetor direção, com o ponto médio.
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Distâncias no espaço: ponto, plano e reta
pontos: d = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)² + (z₁ − z₂)²); plano: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| ÷ √(a² + b² + c²); reta: d = |AP × v| ÷ |v|; ponto médio = (P + Q) ÷ 2
No espaço, a distância entre dois pontos estende o teorema de Pitágoras às três coordenadas. A distância de um ponto a um plano usa os coeficientes da equação do plano, e a de um ponto a uma reta usa o produto vetorial do vetor do ponto da reta ao ponto com o vetor direção.
Exemplo de distância de ponto a plano
| Campo | Valor |
|---|---|
| Ponto P: x | 1 |
| Ponto P: y | 2 |
| Ponto P: z | 3 |
| Ponto Q (ou ponto da reta): x | 4 |
| Ponto Q (ou ponto da reta): y | 6 |
| Ponto Q (ou ponto da reta): z | 3 |
| O que medir | Entre dois pontos P e Q |
| Distância | 5 |
| Módulo do vetor usado (normal do plano, direção da reta ou segmento PQ) | 5 |
| Ponto médio de P e Q: x | 2,5 |
| Ponto médio de P e Q: y | 4 |
| Ponto médio de P e Q: z | 3 |
Cuidados com os coeficientes e o vetor
- Na equação do plano ax + by + cz + d = 0, o vetor (a, b, c) é perpendicular ao plano; multiplicar todos os coeficientes pelo mesmo número não muda a distância.
- Na reta, o ponto Q pode ser qualquer ponto dela e o vetor direção qualquer vetor paralelo; o resultado é o mesmo.
- A distância é zero quando o ponto pertence ao plano ou à reta.
- O ponto médio de P e Q aparece em todos os modos, porque só depende dos dois pontos digitados.
Nota: Geometria com as coordenadas digitadas, na mesma unidade.
Perguntas frequentes
Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?
Some os quadrados das diferenças das três coordenadas e extraia a raiz. De P = (1, 2, 3) a Q = (4, 6, 3), a distância é 5.
Como calcular a distância de um ponto a um plano?
Divida o valor absoluto de ax₀ + by₀ + cz₀ + d pelo módulo do vetor normal. No segundo cenário, a distância é 3,6667.
Como calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço?
Divida o módulo do produto vetorial pelo módulo do vetor direção. No terceiro cenário, a distância é 2,2361.