Fractais: perímetro e área do floco de Koch, de Sierpinski e do tapete por iteração
Informe o lado e o número de iterações para ver o perímetro e a área do floco de Koch, a área do triângulo de Sierpinski e a do tapete de Sierpinski.
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Floco de neve de Koch
perímetro = 3·a·(4/3)^n; área = (√3/4)·a²·(1 + (3/5)·(1 − (4/9)^n)); lados = 3·4^n
Partindo de um triângulo equilátero de lado 1, após 3 iterações o floco de Koch tem 192 lados, perímetro de 7,1111 e área de 0,67. Com mais iterações o perímetro cresce sem limite, mas a área tende a 8/5 da área do triângulo inicial.
Triângulo de Sierpinski e tapete de Sierpinski
triângulo: área = A0·(3/4)^n; tapete: área = a²·(8/9)^n
No triângulo de Sierpinski a área restante após 1 iteração é 26,3055, três quartos da inicial; no tapete de Sierpinski sobre um quadrado de lado 9, a área restante é 72. Depois de infinitas iterações a área vai a zero.
Limites
- Iterações de 0 a 20; a iteração 0 é a figura inicial. O lado a é o do triângulo equilátero (Koch e Sierpinski) ou do quadrado (tapete).
- As fórmulas são as exatas de cada iteração, não aproximações; a dimensão fractal de Koch é log 4 ÷ log 3, cerca de 1,26.
- A página não desenha as figuras.
Perguntas frequentes
Como calcular o perímetro do floco de Koch?
A cada iteração o perímetro é multiplicado por 4/3: P = 3·a·(4/3)^n. Com lado 1 e 3 iterações, 7,1111.
Qual a área do floco de neve de Koch?
A = (√3/4)·a²·(1 + (3/5)·(1 − (4/9)^n)). Ela cresce a cada iteração, mas tende a 8/5 da área do triângulo inicial.
Como calcular a área do triângulo de Sierpinski?
A cada iteração restam 3/4 da área: A = A0·(3/4)^n. Depois de infinitas iterações, a área é zero.