Elipse: área, perímetro e excentricidade
Área, perímetro (duas aproximações de Ramanujan), distância focal e excentricidade de uma elipse a partir dos dois semieixos.
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Área, perímetro e excentricidade de uma elipse
área = π·a·b; perímetro (Ramanujan I) ≈ π[3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))]; perímetro (Ramanujan II) ≈ π(a+b)(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))), h = ((a−b)÷(a+b))²; excentricidade = √(a² − b²) ÷ a, com a o maior semieixo
A área da elipse é simples, mas o perímetro exige uma integral elíptica, sem fórmula fechada elementar. Ramanujan propôs duas aproximações: a primeira é boa para elipses pouco achatadas, e a segunda é bem mais precisa mesmo em elipses muito alongadas.
Exemplo com semieixos 5 e 3
| Campo | Valor |
|---|---|
| Semieixo a | 5 |
| Semieixo b | 3 |
| Área | 47,1239 |
| Perímetro, 1ª aproximação de Ramanujan | 25,527 |
| Perímetro, 2ª aproximação de Ramanujan (mais precisa) | 25,527 |
| Diferença entre as duas aproximações (% do 2º valor) | 0 |
| Distância do centro a cada foco | 4 |
| Excentricidade | 0,8 |
Por que o perímetro é uma aproximação
- A página mostra as duas aproximações e a diferença entre elas: quanto menor, mais a elipse é próxima de um círculo e menos importa qual fórmula usar.
- A excentricidade varia de 0, um círculo, até perto de 1, quando a elipse fica muito achatada.
- A distância focal é a do centro a cada foco: os focos ficam sobre o eixo maior, a essa distância do centro.
- Todos os resultados saem na mesma unidade dos semieixos, ou no quadrado dela, no caso da área.
Nota: Aproximação numérica com os semieixos digitados; o perímetro não é exato.
Perguntas frequentes
Como calcular a área da elipse?
Multiplique π pelos dois semieixos. Com a = 5 e b = 3, a área é 47,1239.
Como calcular o perímetro da elipse?
Não há fórmula exata simples; pelas aproximações de Ramanujan são 25,527 e 25,527, diferença de 0%.
Como calcular a excentricidade da elipse?
É a distância focal dividida pelo semieixo maior: 4 ÷ 5 = 0,8.
Qual a fórmula de Ramanujan da elipse?
A segunda é P ≈ π(a+b)(1 + 3h/(10 + √(4−3h))). Para o círculo do segundo cenário ela dá 62,8319, igual a 2πa.