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Lei dos senos e lei dos cossenos

Resolva um triângulo qualquer pelas leis dos senos e dos cossenos: ache lados, ângulos e área a partir de três dados.

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Entrada

Dados que você tem

No caso dos três lados (LLL), cada lado tem de ser menor que a soma dos outros dois (desigualdade triangular); senão o triângulo não fecha. No caso AAL, é o lado oposto ao ângulo A.

Usado nos casos LAL e LLL. Em LLL, precisa ser menor que a + c.

Usado nos casos LAL e LLL. Em LLL, precisa ser menor que a + b.

Em LAL, é o ângulo entre os lados b e c. Em AAL, A + B tem de ser menor que 180°, porque os três ângulos de um triângulo somam 180°.

Usado só no caso AAL. A soma A + B precisa ser menor que 180° (o ângulo C é o que sobra).

Resultado

O resultado aparece aqui.

Quando usar a lei dos senos e a lei dos cossenos

Em um triângulo qualquer, a lei dos senos relaciona cada lado ao seno do ângulo oposto, e a lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para ângulos diferentes de 90°.

a ÷ seno A = b ÷ seno B = c ÷ seno C

a² = b² + c² − 2 × b × c × cosseno A

Com dois lados e o ângulo entre eles (LAL), a lei dos cossenos dá o terceiro lado; com os três lados (LLL), ela dá os ângulos; com dois ângulos e um lado (AAL), a lei dos senos dá o resto.

Exemplos de triângulos resolvidos

No caso LAL, com b = 8, c = 5 e A = 60°, o lado a é 7, e os ângulos B e C são 81,786789° e 38,213211°. No caso LLL, os lados 3, 4 e 5 dão os ângulos 36,869898°, 53,130102° e 90°, com área 6.

No caso AAL, com a = 10, A = 40° e B = 60°, o ângulo C é 80°, o lado b é 13,472964 e o lado c é 15,320889.

Limites da lei dos senos e dos cossenos

  • Lados de 0,0001 a 1.000.000 e ângulos de 0,0001° a 179,9999°, todos com até 4 casas.
  • No caso LLL, cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois; no caso AAL, a soma dos dois ângulos precisa ser menor que 180°.
  • O caso de dois lados e um ângulo que não está entre eles (SSA/LLA) pode ter nenhuma, uma ou duas respostas e não é resolvido aqui.
  • No caso AAL, o lado informado é o a, oposto ao ângulo A. Se você tem dois ângulos e o lado entre eles (ALA), calcule o terceiro ângulo (180° menos a soma), que fica oposto a esse lado, e informe-o como A e um dos outros dois como B.
  • Os campos que não fazem parte do caso escolhido são ignorados no cálculo, mas continuam sendo validados.
  • Cada resultado é arredondado a 6 casas, então a soma dos três ângulos pode aparecer com uma diferença de milionésimos de grau.

Perguntas frequentes

Como usar a lei dos senos?

A razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é a mesma nos três lados. Com a = 10, A = 40° e B = 60°, o lado b é 10 × seno 60° ÷ seno 40°, cerca de 13,47.

Como usar a lei dos cossenos?

Use a² = b² + c² − 2bc × cosseno A. Com b = 8, c = 5 e A = 60°, a² = 64 + 25 − 40 = 49, então a = 7.

Quando usar a lei dos senos e quando usar a lei dos cossenos?

Use a lei dos cossenos quando souber dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados. Use a lei dos senos quando souber dois ângulos e um lado (aqui, o lado oposto ao ângulo A).

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