Quantos quadrados e retângulos tem um tabuleiro
Total de quadrados, de retângulos e de retângulos não quadrados num tabuleiro de m por n casas, e quantos quadrados de um lado específico cabem nele.
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Como contar quadrados e retângulos num tabuleiro
quadrados = s(s+1)(3t − s + 1) ÷ 6 (s = menor lado, t = maior); retângulos = m(m+1)n(n+1) ÷ 4; quadrados de lado k = (m − k + 1)(n − k + 1)
Cada retângulo fica determinado por duas linhas e duas colunas da grade, o que dá C(m+1, 2) × C(n+1, 2) retângulos no total, contando os quadrados. Os quadrados se contam por tamanho: há (m − k + 1)(n − k + 1) de lado k, e a soma de todos os k tem forma fechada.
Exemplo com o tabuleiro de xadrez 8 × 8
| Campo | Valor |
|---|---|
| Casas na horizontal | 8 |
| Casas na vertical | 8 |
| Lado do quadrado a contar (em casas) | 1 |
| Quadrados de todos os tamanhos | 204 |
| Retângulos de todos os tamanhos (inclui os quadrados) | 1.296 |
| Retângulos que não são quadrados | 1.092 |
| Quadrados com o lado informado | 64 |
Quadrados de um tamanho específico
- Em um tabuleiro de xadrez, 8 × 8, o total é de 204 quadrados e 1.296 retângulos; os 64 quadrados menores são só uma parte.
- Os retângulos incluem os quadrados; a diferença entre os dois dá os retângulos que não são quadrados.
- Num tabuleiro 1 × n, todos os quadrados têm lado 1, e há n(n+1)/2 retângulos.
- A contagem é de figuras formadas por casas inteiras, alinhadas à grade.
Nota: Contagem combinatória exata.
Perguntas frequentes
Quantos quadrados tem um tabuleiro?
Em 8 × 8 são 204 quadrados, dos quais 64 têm lado 1.
Quantos retângulos em um tabuleiro?
Na grade 8 × 8 são 1.296, sendo 1.092 não quadrados.
Quantos quadrados tem um tabuleiro de xadrez?
São 204 quadrados e 1.296 retângulos num 8 × 8. Em um tabuleiro 3 × 5, os quadrados de lado 2 são 8.