Desigualdades de Chebyshev e de Markov
Cota máxima de probabilidade de um valor ficar a k desvios-padrão da média (Chebyshev) e de ultrapassar um limite (Markov), sem supor nenhuma distribuição.
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O que as desigualdades de Chebyshev e de Markov garantem
Chebyshev: P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1 ÷ k²; dentro de kσ: ao menos 1 − 1 ÷ k²; Markov (X ≥ 0): P(X ≥ a) ≤ média ÷ a
As duas desigualdades valem para qualquer distribuição com média e variância finitas (Chebyshev) ou para qualquer variável não negativa com média finita (Markov). Em troca dessa generalidade, as cotas costumam ser folgadas: o valor real pode ficar bem abaixo.
Exemplo com k = 2
| Campo | Valor |
|---|---|
| k: quantos desvios-padrão da média | 2 |
| Média, μ | 100 |
| Desvio-padrão, σ | 15 |
| Média de uma variável não negativa (Markov) | 50 |
| Limite a (Markov) | 200 |
| Chebyshev: chance máxima de estar a k desvios ou mais da média (%) | 25 |
| Chebyshev: chance mínima de estar dentro de k desvios (%) | 75 |
| Limite inferior do intervalo μ − kσ | 70 |
| Limite superior do intervalo μ + kσ | 130 |
| Markov: chance máxima de ultrapassar o limite (%) | 25 |
Quando as cotas ajudam e quando são frouxas
- A cota é um teto, e não a probabilidade: para uma distribuição específica, como a normal, o valor real é muito menor.
- Chebyshev só informa algo para k maior que 1; com k = 2, no máximo 25% dos valores ficam a 2 desvios ou mais da média.
- Markov exige que a variável nunca seja negativa e usa só a média: o limite precisa ser maior que a média para a cota ser menor que 100%.
- O intervalo μ ± kσ é calculado com os valores de média e desvio que você digitar.
Nota: Resultado teórico de probabilidade com os números digitados. Não estima a probabilidade real de dados concretos.
Perguntas frequentes
Como funciona a desigualdade de Chebyshev?
Ela limita a chance de um valor se afastar da média: com k = 2, no máximo 25% ficam a 2 desvios ou mais, e ao menos 75% ficam dentro de 70 a 130.
Como funciona a desigualdade de Markov?
Para uma variável não negativa de média 50, a chance de passar de 200 é no máximo 25%.
Como calcular Chebyshev para k = 3?
A cota é 1 ÷ 9: no segundo cenário, no máximo 11,1111% dos valores ficam a 3 desvios ou mais da média.