Função inversa de uma função afim ou homográfica
Inversa de f(x) = (ax + b) ÷ (cx + d), que cobre as funções do 1º grau com c = 0 e d = 1, com o valor de f em um ponto e da inversa em outro.
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Como se obtém a função inversa
f(x) = (ax + b) ÷ (cx + d); f⁻¹(y) = (d·y − b) ÷ (a − c·y); só existe se a·d − b·c ≠ 0
Para achar a inversa, isole x na equação y = f(x): o resultado é a mesma forma de função, com os coeficientes trocados. No caso de primeiro grau (c = 0 e d = 1), é a conhecida f⁻¹(y) = (y − b) ÷ a.
Exemplo com f(x) = (2x + 3) ÷ (x + 1)
| Campo | Valor |
|---|---|
| Coeficiente a | 2 |
| Coeficiente b | 3 |
| Coeficiente c | 0 |
| Coeficiente d | 1 |
| Valor de x para calcular f(x) | 4 |
| Valor de y para calcular a inversa f⁻¹(y) | 11 |
| f(x) no ponto informado | 11 |
| f⁻¹(y) no ponto informado | 4 |
| Inversa: numerador, coeficiente de y | 1 |
| Inversa: numerador, termo independente | -3 |
| Inversa: denominador, coeficiente de y | 0 |
| Inversa: denominador, termo independente | 2 |
Quando a função não tem inversa
- Se a·d − b·c é zero, a função é constante ou degenerada e não é injetora, então não tem inversa.
- Os pontos que zeram o denominador, como x = −d ÷ c, ficam fora do domínio da função; a página recusa calcular neles.
- Aplicar f e depois a inversa devolve o valor original; use isso para conferir.
- O gráfico de f⁻¹ é o espelho do gráfico de f em relação à reta y = x.
Nota: Álgebra com os coeficientes digitados.
Perguntas frequentes
Como achar a função inversa?
Troque x por y e isole. Para f(x) = (2x + 3) ÷ (0x + 1), a inversa tem numerador 1y + (-3) e denominador 0y + 2.
Como achar a inversa de uma função de primeiro grau?
Use c = 0 e d = 1. Para f(x) = 2x + 3, f(4) = 11 e f⁻¹(11) = 4.
Quando uma função não tem inversa?
Quando a·d − b·c é zero. No segundo cenário, f(2) = 2,3333 e f⁻¹(1) = -2, funções que se desfazem.